束 (bundle)
$ Eを全空閒 (total space。stalk space (l'space étale))、$ \piを射影 (projection)、$ Bを底空閒 (base space)と呼ぶ
逆像$ E_b:=\pi^{-1}(b)=\{e\in E|\pi(e)=b\}を$ b上の 繊維 (fibre)と呼ぶ ほぼ同義語
茎 (stalk)
$ \piは寫像であるから、$ b_1,b_2\in B,$ b_1\ne b_2であれば$ \pi^{-1}(b_1)\cap\pi^{-1}(b_2)=\varnothingである
$ \piは全射であるから、$ \bigcup_{b\in B}\pi^{-1}(b)=Eである $ e\in\pi^{-1}(b)を芽 (germ) と呼ぶ
束 (bundle)$ (E',\pi',B')が$ E'\subset E且つ$ \pi'=\pi|_{E'}且つ$ B'\subset Bであるならば部分束 (subbundle) であると言ふ 寫像$ s:B\to Eで$ \pi\circ s(b)=bとなるものを斷面 (section) (切斷。横斷面 (cross-section)) と呼ぶ 函數$ f:X\to Yの場合、$ \{(x,y)|x\in X,y\in Y\}が全空閒、$ \{x|x\in X\}が底空閒、$ (x,y)\mapsto xが射影、$ x\mapsto (x,f(x))が斷面 (section)に當たる 函數の一般化と言へる
$ \piがepi 射でなければ local section と呼ぶ 束 (bundle)$ E_1\xrightarrow{\pi_1}B,$ E_2\xrightarrow{\pi_2}Bについて、可換圖式$ E_1\to B\larr E_2\larr E_1を滿たす射$ E_1\to E_2を束寫像 (bundle map) と言ふ 接線形空閒
全微分$ df
$ df=\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i
偏微分$ \frac{\partial f}{\partial x}
$ xから見た限りでの$ f
vector 場
餘接束 (cotangent bundle)
構造群を使った定義
座標束 (coordinate bundle)
底空閒$ Bの開被覆$ \{U_a|U_a\in{\cal O}_B\}_{a\in A},$ \bigcup_{a\in A}U_a=Bの要素$ U_aを座標近傍 (coordinate neighborhood) と呼ぶ
$ Fを位相空閒とし、各座標近傍$ U_aに對して、$ \forall x_{\in U_a}\forall f_{\in F}(\pi\circ\varphi_a(x,f)=x)を滿たす同相寫像$ \varphi_a:U_a\times F\to\pi^{-1}(U_a)が存在する。$ Fを 繊維 (fibre) と、$ \varphi_aを座標函數 (coordinate function) と呼ぶ 各座標近傍$ U_aに對して、$ F上の連續函數$ \varphi_{a,x}:F\to\pi^{-1}(U_a),$ \varphi_{a,x}(f):=\varphi_a(x,f)を定義すると、連續函數$ g_{ba}:U_a\cap U_b\to G,$ g_{ba}(x):F\to F,$ g_{ba}(x)(f):=\varphi^{-1}_{b,x}\circ\varphi_{a,x}(f)は、$ F上の位相變換群$ _{g_{ba}(x)\in}Gを導く。この樣な群の內で小さいものを選ぶ。$ g_{ba}を座標變換 (coordinate transformation)、$ Gを構造群 (structure group) と呼ぶ 組$ (E,\pi,B,F,G,\{U_a,\varphi_a\}_{a\in A})を座標束と呼ぶ
座標束$ (E,\pi,B,F,G,\{U_a,\varphi_a\}_{a\in A}),$ (E,\pi,B,F,G,\{V_b,\psi_b\}_{b\in B})について、$ h_{ba}:U_a\cap V_b\to G,$ h_{ba}(x):=\psi^{-1}_{b,x}\circ\varphi_{a,x}が$ h_{ba}(x)\in Gで$ h_{ba}が連續函數であれば、同値であると言ふ。座標束の同値類$ (E,\pi,B,F,G)を fibre 束或いはG-束 (G-bundle) と呼ぶ fibre 束$ (E_1,\pi_1,B_1,F,G),$ (E_2,\pi_2,B_2,F,G)との閒の束寫像$ (\eta_E,\eta_B)を$ \eta_E:E_1\to E_2,$ \eta_B:B_1\to B_2,$ \eta_E;\pi_2=\pi_1;\eta_Bとして定義できる $ \forall x_{\in E}\forall g_{\in G}(xg\in E)
$ x\sim_\pi y:=\pi(x)=\pi(y).
$ x\sim_G y:=\exist g_{\in G}(xg=y).
$ x\sim_\pi y\iff x\sim_G y.